Devoir surveillé n°2 — Semestre 1 (2023)

Soit \(f\) la fonction définie par :
\[f(x)= \begin{cases} x-1+\sqrt{x^{2}+1}, & x<0 \\[4pt] \sqrt[3]{x-\arctan(x)}, & x\geq 0 \end{cases}\]

1. Étudier la continuité de \(f\) en \(0\). (0,5 pt)

2. Démontrer que \(\forall\,x\in\mathbb{R}^{+}\) : \(\arctan(x)\leq x\).
(0,75 pt)

3.

1. Démontrer que \(\forall\,x\in\mathbb{R}^{+}\) :
   \(\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{5}}{5}\leq x-\arctan(x)\leq\dfrac{x^{3}}{3}\).
   (1,5 pt)

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x-\arctan x}{x^{3}}\).
   (0,5 pt)

3. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) et interpréter géométriquement le résultat.
   (0,5 pt)

4. Étudier les variations de \(f\). (2 pts)

5. Étudier les branches infinies à \((C_{f})\). (1 pt)

6.

1. Montrer que l’équation \(x^{3}=x-\arctan(x)\) admet une unique solution \(\alpha\)
   dans l’intervalle \([0\,;+\infty[\) et que \(\alpha=0\). (0,75 pt)

2. Déduire que \(0\) est la seule solution de l’équation \(f(x)=0\) dans \([0\,;+\infty[\).
   (0,25 pt)

7. Tracer \((C_{f})\) dans un repère orthonormé
\(\bigl(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\bigr)\). (1 pt)

8. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(I=\,]-\infty\,;0]\).

1. Démontrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle
   \(J\) à déterminer. (0,5 pt)

2. Déterminer \(g^{-1}(x)\) pour tout \(x\) dans \(J\). (1 pt)

3. Tracer \((C_{g})\) et \(\bigl(C_{g^{-1}}\bigr)\) dans le même repère
   \(\bigl(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\bigr)\). (0,5 pt)

9. Soit \((u_{n})\) la suite définie par
\[\begin{cases} u_{0}=1 \\[4pt] u_{n+1}=\sqrt[3]{u_{n}-\arctan(u_{n})},\quad n\in\mathbb{N} \end{cases}\]

1. Démontrer que \(\forall\,n\in\mathbb{N}\) : \(u_{n}\geq 0\), que \((u_{n})\) est décroissante
   et déduire qu’elle est convergente. (1,5 pt)

2. Démontrer que \(\forall\,n\in\mathbb{N}\) : \(0\leq u_{n+1}\leq\sqrt[3]{\dfrac{1}{3}}\,u_{n}\).
   (1 pt)

3. Déterminer la limite de \((u_{n})\) par deux méthodes différentes.
   (1 pt)

1. Soit \(n\in\mathbb{N}\), on pose
\(U_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\)
et \(V_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\).

1. Étudier la monotonie de \((V_{n})\) et \((U_{n})\). (1 pt)

2. Démontrer que \(\forall\,n\in\mathbb{N}\) : \(|U_{n}-V_{n}|\leq\dfrac{2}{4n+1}\)
   et déduire que \((V_{n})\) et \((U_{n})\) sont adjacentes. (1 pt)

2. Déterminer les primitives des fonctions :
\[f(x)=\frac{1}{x^{2}+3x+4} \qquad;\qquad g(x)=(x+2)\sqrt{x+1} \qquad;\qquad h(x)=1+\frac{1}{\tan^{2}(x)}\]
(2,25 pts)

3. Soit \(f\) une fonction continue sur \([0\,;1]\) et dérivable sur \(]0\,;1[\)
telle que \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
Démontrer que \(\exists\,c\in\,]0\,;1[\;;\;f'(c)=\dfrac{1}{2\sqrt{c}}\).
(1,5 pt)