Devoir surveillé n°4 — Semestre 2 (2002)

On considère l’ensemble : \(E = \left\{M(a\,,\,b\,,\,c) = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a+c & b \\ c & b & a \end{pmatrix}\,;\,(a\,,\,b\,,\,c) \in \mathbb{R}^{3}\right\}\).
On pose \(I = M(1\,,\,0\,,\,0)\) et \(J = M(0\,,\,1\,,\,0)\) et \(K = M(0\,,\,0\,,\,1)\).

1.

1. Calculer \(M(x\,;\,y\,;\,z)\) en fonction de \(x\) et \(y\) et \(z\) et \(I\) et \(J\) et \(K\). (1 pt)

2. Montrer que \(J^{2} = K\) et \(K^{2} = J+K\) et \(KJ = JK = I+J\). (2 pts)

3. Montrer que la matrice \(J\) est inversible dans \(E\) et déterminer son inverse \(J^{-1}\). (1 pt)

2. Montrer que \((E\,,\,+,\,\times)\) est un anneau unitaire. (1,5 pt)

3.

1. Montrer que \((E\,,\,+,\,.)\) est un espace vectoriel. (2 pts)

2. Montrer que la famille \(B = (I\,,\,J\,,\,K)\) est une base de \(E\). (1,5 pt)

3. Déterminer les coordonnées de \(J^{7}\) dans la base \(B\). (1 pt)

On considère trois urnes \(U\), \(V\) et \(W\) telles que :

• l’urne \(W\) contient une boule noire et deux boules blanches ;

• les urnes \(U\) et \(V\) contiennent chacune deux boules blanches et deux boules noires.

On considère l’expérience suivante : on tire une boule de l’urne \(W\). Si la boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne \(U\) puis on y tire deux boules simultanément ; et si la boule tirée de \(W\) est noire, on la remet dans l’urne \(V\) puis on y tire deux boules simultanément.

1. Quelle est la probabilité que le tirage soit effectué dans l’urne \(U\) ? (1 pt)

2. Quelle est la probabilité de tirer deux boules blanches à la fin de l’expérience ? (1,5 pt)

3. Soit \(X\) la variable aléatoire qui est égale au nombre de boules blanches tirées à la fin de l’expérience.

1. Déterminer la loi de probabilité de \(X\). (3,5 pt)

2. Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\), et l’écart-type \(\sigma(X)\) de \(X\). (4 pts)