Devoir surveillé n°4 — Semestre 2 (2022)

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose : \(\displaystyle u_{n} = \left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^{2}}\) et \(v_{n} = \ln(u_{n})\).

1. Vérifier que : \((\forall n \geq 1)\ ;\ v_{n} = n^{2}\bigl[\ln(\arctan(n)) - \ln(\arctan(n+1))\bigr]\). (1 pt)

2. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que :
\[(\forall n \geq 1)\ ;\ (\exists c \in \,]n\,,\,n+1[\ ;\ v_{n} = \frac{-n^{2}}{(1+c^{2})\arctan(c)}.\]
(1,5 pt)

3. Montrer que : \((\forall n \geq 1)\ ;\ \dfrac{-n^{2}}{(1+n^{2})\arctan(n)} < v_{n} < \dfrac{-n^{2}}{(1+(n+1)^{2})\arctan(n+1)}\). (1,5 pt)

4. Calculer : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n}\). (1 pt)

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0\,,\,+\infty[\) par :
\[\begin{cases} f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x-1} \quad ; \quad x \in \,]0\,,\,+\infty[ - \{1\} \\ f(1) = 1 \end{cases}\]

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\) puis donner leurs interprétations géométriques. (2 pts)

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(]0\,,\,+\infty[\). (1 pt)

3.

1. Montrer que \(f\) est dérivable sur chacun des intervalles \(]0\,,\,1[\) et \(]1\,,\,+\infty[\) et que pour tout réel strictement positif différent de \(1\) on a : \(f'(x) = \dfrac{(x-1)-x\ln(x)}{x(x-1)^{2}}\). (2 pts)

2. Montrer que pour tout réel strictement positif différent de \(1\) on a : \((x-1)-x\ln(x) < 0\) puis dresser le tableau de variations de \(f\). (1,5 pt)

4. Tracer \((C_{f})\) dans un repère orthonormé \((O\,,\,\vec{i}\,,\,\vec{j})\). (1,5 pt)

5. Montrer que pour tout entier naturel non nul \(n\), il existe un unique \(\alpha_{n} > 0\) tel que \(f(\alpha_{n}) = 1 + \dfrac{1}{n}\). (1,5 pt)

6.

1. Vérifier que pour tout entier naturel non nul \(n\), \(0 < \alpha_{n} < 1\). (1 pt)

2. Montrer que la suite \((\alpha_{n})_{n>0}\) est strictement croissante puis déduire qu’elle converge. (2 pts)

3. Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (\alpha_{n}) = 1\). (1 pt)

4. Montrer que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n(1-\alpha_{n}) = 2\) puis déduire que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \bigl((\alpha_{n})^{n}\bigr) = \frac{1}{e^{2}}\). (1,5 pt)