Examen blanc N°7

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par :
\[u_0 = 0 \qquad \text{et} \qquad \forall\,n\in\mathbb{N}:\; u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{3}\]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 pt)

2. Montrer par récurrence que \(\forall\,n\in\mathbb{N}:\; 0 \leq u_n < 2\). (0,5 pt)

3. Étudier la monotonie de \((u_n)\). En déduire que \((u_n)\) est convergente. (0,5 pt)

4. On pose \(v_n = u_n - 2\).

a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\). Calculer \(v_0\). (0,5 pt)

b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)

c) Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n\). (0,5 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\bigl(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigr)\).
On considère le plan \((P):\; 2x - y + 2z - 3 = 0\) et les points \(A(1,\,1,\,1)\) et \(B(3,\,-1,\,0)\).

1. Vérifier que \(A \in (P)\). Calculer la distance \(d(B,\,(P))\). (0,5 pt)

2. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(B\) et perpendiculaire à \((P)\). Donner une représentation paramétrique de \((\Delta)\). (0,5 pt)

3. Déterminer le point \(H\), pied de la perpendiculaire de \(B\) sur \((P)\). Vérifier que \(BH = d(B,(P))\). (0,75 pt)

4. Déterminer l’équation cartésienne de la sphère \((S)\) de diamètre \([AB]\). (0,5 pt)

5. Calculer la distance du centre \(\Omega\) de \((S)\) au plan \((P)\). En déduire la position relative de \((P)\) et \((S)\). (0,75 pt)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\), soit \(A\) le point d’affixe \(z_A = 1 + i\sqrt{3}\).

1.
a) Écrire \(z_A\) sous forme trigonométrique puis exponentielle. (0,5 pt)

b) En déduire \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3}\). (0,25 pt)

2. On note \(B\) le point d’affixe \(z_B = z_A^2\).
a) Calculer \(z_B\) sous forme algébrique et exponentielle. (0,5 pt)

b) Montrer que le triangle \(OAB\) est rectangle. (0,5 pt)

3. On considère la similitude directe \(f\) du plan définie par \(z' = z_A \cdot z\).
a) Préciser le rapport et l’angle de \(f\). (0,5 pt)

b) Déterminer l’affixe et les coordonnées de l’image \(C'\) du point \(C(2;\,0)\) par \(f\). (0,75 pt)

Une usine fabrique des pièces dont \(5\,\%\) sont défectueuses. On prélève au hasard et avec remise un lot de \(4\) pièces. Soit \(X\) le nombre de pièces défectueuses dans le lot.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\). Préciser \(n\) et \(p\). (0,5 pt)

2. Calculer \(P(X=0)\), \(P(X=1)\) et \(P(X\geq 2)\). (Résultats arrondis à \(10^{-4}\).) (1 pt)

3. Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\). (0,5 pt)

4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que, dans un lot de \(n\) pièces, la probabilité d’obtenir au moins une pièce défectueuse soit supérieure à \(0{,}5\). (On utilisera \(\ln 2 \approx 0{,}693\) et \(\ln(0{,}95)\approx -0{,}0513\).) (1 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x\ln x - 2x + 2\).
On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j})\) d’unité graphique \(2\,\text{cm}\).

Partie I — Étude de \(f\)(4 pts)

1.a) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)\). En déduire que \(f\) se prolonge par continuité en \(0\) en posant \(f(0)=2\). (0,5 pt)

1.b) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\). Interpréter géométriquement. (0,5 pt)

2. Montrer que \(f'(x)=\ln x - 1\). Dresser le tableau de variation de \(f\). (0,75 pt)

3.a) Vérifier que \(f(1)=0\). Calculer \(f(e)\). (0,25 pt)

3.b) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\beta \in\,]e\,,\,e^2[\). Encadrer \(\beta\) à l’unité. (0,5 pt)

3.c) Étudier le signe de \(f(x)\) sur \(]0,+\infty[\). (0,25 pt)

4. Calculer \(f''(x)\). Montrer que \((C)\) est convexe sur \(]0,+\infty[\). Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point d’abscisse \(e\). (0,75 pt)

5. Construire \((C)\) et \((T)\) dans le repère. (0,5 pt)

Partie II — Calcul intégral(2 pts)

6.a) Vérifier que \(G(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}\) est une primitive de \(x\ln x\) sur \(]0,+\infty[\). (0,5 pt)

6.b) Calculer l’aire \(\mathcal{A}\) (en cm²) du domaine plan délimité par \((C)\) et l’axe des abscisses sur l’intervalle \([1,\,e]\). (On rappelle que \(f(x)\leq 0\) sur \([1,e]\).)(0,75 pt)

6.c) Déterminer \(\alpha \in\,]0,+\infty[\) tel que la tangente à \((C)\) au point d’abscisse \(\alpha\) passe par l’origine \(O\). (0,75 pt)

Partie III — Équation différentielle(2 pts)

On considère l’équation différentielle \(\;(E):\; y' + 2y = 4\).

7. Résoudre \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)

8. Déterminer la solution \(g\) de \((E)\) vérifiant \(g(0)=3\). (0,5 pt)

9. Étudier le sens de variation de \(g\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)\). (0,5 pt)