Examen blanc N°8

On considère la suite \((u_n)_{n\geq 1}\) définie par : \(u_1 = 2\) et \(\forall\,n\geq 1:\; u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{n(n+1)}\).

1. Calculer \(u_2\) et \(u_3\). (0,25 pt)

2.
a) Montrer que \(\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\). (0,25 pt)

b) En déduire, par télescopage, que pour tout \(n\geq 1\) : \(u_{n+1} = 3 - \dfrac{1}{n+1}\). (0,5 pt)

c) En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) pour tout \(n\geq 2\). Vérifier que cette formule est aussi valide pour \(n=1\). (0,5 pt)

3. Montrer que \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\). Conclure sur sa convergence et calculer sa limite. (0,5 pt)

4. On pose \(T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\).
a) Exprimer \(T_n\) à l’aide de la suite \((u_n)\). (0,25 pt)

b) En déduire \(T_n\) en fonction de \(n\), puis \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} T_n\). (0,75 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\bigl(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigr)\).
On considère les points \(A(2,\,1,\,0)\), \(B(1,\,-1,\,2)\) et \(C(3,\,0,\,-1)\).

1.
a) Calculer \(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\). (0,5 pt)

b) En déduire l’équation cartésienne du plan \((ABC)\). (0,5 pt)

2. Soit \(\Omega(1,\,1,\,2)\).
a) Calculer la distance \(d\bigl(\Omega,\,(ABC)\bigr)\). (0,25 pt)

b) Donner l’équation de la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(R = \dfrac{2}{\sqrt{26}}\). (0,25 pt)

c) Montrer que le plan \((ABC)\) est tangent à \((S)\). (0,25 pt)

3. Soit \((\Delta)\) la droite de représentation paramétrique :
\(\begin{cases} x = 4t+1 \\ y = t+1 \\ z = 3t+2 \end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).
a) Montrer que \((\Delta)\) passe par \(\Omega\) et est perpendiculaire au plan \((ABC)\). (0,5 pt)

b) Déterminer le point de tangence \(K\) entre le plan \((ABC)\) et la sphère \((S)\). (0,5 pt)

4. Calculer la distance du point \(D(0,\,2,\,3)\) au plan \((ABC)\). (0,25 pt)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E):\; z^2 - 2\sqrt{3}\,z + 4 = 0\).
Écrire les solutions sous forme exponentielle.(0,75 pt)

Soient \(A\) et \(B\) les points d’affixes \(z_A = \sqrt{3}+i\) et \(z_B = \sqrt{3}-i\).

2.
a) Calculer \(|z_A|\), \(|z_B|\) et \(|z_A - z_B|\). (0,5 pt)

b) Montrer que le triangle \(OAB\) est équilatéral. (0,5 pt)

3. Soit \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{3}\).
a) Montrer que \(R\) transforme \(A\) en \(B\). (0,5 pt)

b) Montrer que \(R\) transforme \(B\) en un point \(C\) d’affixe \(z_C = -2i\) et déterminer les coordonnées de \(C\). (0,5 pt)

c) Quelle est la nature du quadrilatère \(OABC\) ? (0,25 pt)

On tire simultanément \(2\) boules d’une urne contenant \(3\) boules rouges numérotées \(1\), \(2\), \(3\) et \(2\) boules bleues numérotées \(1\), \(2\). Soit \(X\) la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.

1. Lister toutes les issues possibles et déterminer les valeurs prises par \(X\). (0,5 pt)

2. Établir la loi de probabilité de \(X\) (tableau de distribution). (1 pt)

3. Calculer l’espérance \(E(X)\) et l’écart-type \(\sigma(X)\). (1 pt)

4. Calculer \(P(X \leq E(X))\). (0,5 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x^2-1)e^x\).
On note \((C_f)\) sa courbe représentative dans \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unité graphique : \(1\,\text{cm}\)).

Partie I — Étude de \(f\)(4 pts)

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\). En déduire une asymptote à \((C_f)\). (0,5 pt)

2. Montrer que \(f'(x)=(x^2+2x-1)e^x\). Étudier le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (On utilisera \(x_1 = -1-\sqrt{2}\) et \(x_2=-1+\sqrt{2}\) racines de \(x^2+2x-1=0\).) (1 pt)

3. Montrer que \(f''(x)=(x^2+4x+1)e^x\). En déduire les abscisses des points d’inflexion de \((C_f)\). (0,75 pt)

4. Montrer que \(f\) n’est ni paire ni impaire. (0,5 pt)

5. Montrer que \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions et les déterminer. (0,5 pt)

6. Construire \((C_f)\) dans le repère. (0,75 pt)

Partie II — Calcul intégral(2,5 pts)

7. Vérifier que \(H(x)=(x^2-2x+1)e^x\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 pt)

8. Calculer l’aire (en cm²) du domaine délimité par \((C_f)\) et l’axe des abscisses sur \([-1,\,1]\). (0,75 pt)

9. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx\) et interpréter géométriquement. (0,75 pt)

10. Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\,dx\). (0,5 pt)

Partie III — Équation différentielle(1,5 pt)

On considère l’équation différentielle \(\;(E):\; y' - y = 2\).

11. Résoudre \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). (0,75 pt)

12. Déterminer la solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=1\). (0,75 pt)