Examen blanc N°9

Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose : \(u_n = \dfrac{n+2}{2^n}\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). (0,5 pt)

2. Montrer que \(\forall\,n\geq 1:\; u_n > 0\). (0,25 pt)

3.
a) Calculer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\). Simplifier. (0,5 pt)

b) Montrer que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} < 1\) pour tout \(n\geq 1\). En déduire que \((u_n)\) est strictement décroissante. (0,5 pt)

c) En déduire que \((u_n)\) est convergente. (0,25 pt)

4.
a) Écrire \(u_n=\dfrac{n}{2^n}+\dfrac{2}{2^n}\), puis calculer séparément les limites des deux termes à l’aide des limites de référence. (0,5 pt)

b) En déduire \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n\). (0,25 pt)

5. Calculer \(S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k+2}{2^k}\).
On admettra que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+2}{2^n}\).(0,25 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\bigl(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigr)\).
On considère la sphère \((S):\; x^2+y^2+z^2-4x+2y-4z+1=0\) et le plan \((P):\; x-y+2z-1=0\).

1. Déterminer les coordonnées du centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \((S)\). (0,5 pt)

2. Calculer la distance \(d(\Omega,(P))\). Montrer que \((P)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\mathcal{C})\). Déterminer le rayon \(r\) de \((\mathcal{C})\). (0,75 pt)

3. Déterminer les coordonnées du centre \(\omega\) de \((\mathcal{C})\). (0,75 pt)

4. Donner l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(T(4,\,-1,\,4)\) (vérifier d’abord que \(T\in(S)\)). (0,5 pt)

5. Calculer le volume de la boule de sphère \((S)\). (0,5 pt)

On pose \(w = 1 - i\) et on définit la suite \((z_n)\) par : \(z_0 = 1\) et \(\forall\,n\in\mathbb{N}:\; z_{n+1} = w\cdot z_n\).

1.
a) Écrire \(w\) sous forme exponentielle. (0,5 pt)

b) Montrer que \((z_n)\) est une suite géométrique et exprimer \(z_n\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)

c) En déduire \(|z_n|\) et \(\arg(z_n)\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)

2.
a) Pour quelles valeurs de \(n\in\mathbb{N}\) a-t-on \(z_n \in \mathbb{R}\) ? Calculer les valeurs correspondantes de \(z_n\). (0,5 pt)

b) Pour quelles valeurs de \(n\) a-t-on \(z_n\) imaginaire pur non nul ? (0,5 pt)

3. En utilisant \(z_1\), déterminer \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\), puis retrouver les valeurs de \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) par parité.(0,5 pt)

Dans une classe de \(30\) élèves : \(18\) pratiquent un sport, \(15\) pratiquent un instrument de musique et \(7\) pratiquent les deux. On choisit un élève au hasard.

Soit \(S\) : « l’élève pratique un sport » et \(M\) : « l’élève pratique un instrument de musique ».

1. Calculer \(P(S)\), \(P(M)\) et \(P(S\cap M)\). (0,5 pt)

2. Calculer \(P(S\cup M)\). En déduire la probabilité que l’élève ne pratique ni sport ni musique. (0,5 pt)

3. Calculer \(P(S\mid M)\) et \(P(M\mid S)\). Interpréter. (0,75 pt)

4. \(S\) et \(M\) sont-ils indépendants ? Justifier. (0,5 pt)

5. On choisit \(2\) élèves successivement sans remise. Calculer la probabilité que les deux pratiquent un sport. (0,75 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=(x-1)\ln x\).
On note \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j})\) d’unité graphique \(2\,\text{cm}\).

Partie I — Étude de \(f\)(3,5 pts)

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)\). En déduire si \(f\) se prolonge par continuité en \(0\). (0,5 pt)

2. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\). Interpréter géométriquement. (0,5 pt)

3. Montrer que \(f'(x) = \ln x + 1 - \dfrac{1}{x}\). Dresser le tableau de variation de \(f\).
(On admettra que \(f'\) s’annule en \(x=1\) et qu’elle est positive pour \(x>1\), négative pour \(0<x<1\).)(0,75 pt)

4.a) Vérifier que \(f(1)=0\) et montrer que \(x=1\) est l’unique zéro de \(f\) sur \(]0,+\infty[\). (0,5 pt)

4.b) Étudier le signe de \(f(x)\) sur \(]0,+\infty[\) et déduire que \((C_f)\) est au-dessus de l’axe des abscisses sur \(]1,+\infty[\). (0,25 pt)

5. Calculer \(f''(x)\). Montrer que \((C_f)\) est convexe sur \(]0,+\infty[\). En déduire que \(x=1\) est un minimum de \(f\). (0,5 pt)

6. Écrire l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point \(x=1\). Construire \((C_f)\). (0,5 pt)

Partie II — Calcul intégral(3 pts)

7. Calculer par intégration par parties \(\displaystyle I = \int_1^e \ln x\,dx\). (0,5 pt)

8. Calculer par intégration par parties \(\displaystyle K = \int_1^e x\ln x\,dx\). (0,75 pt)

9.a) En déduire \(\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx\) (on remarquera que \(f(x)=x\ln x-\ln x\)). (0,75 pt)

9.b) Calculer l’aire \(\mathcal{A}\) (en cm²) du domaine délimité par \((C_f)\) et l’axe des abscisses sur \([1,\,e]\). (Unité graphique : 2 cm.)(1 pt)

Partie III — Fonction réciproque(1,5 pt)

10. Soit \(f_1\) la restriction de \(f\) à \([1,+\infty[\). Montrer que \(f_1\) admet une fonction réciproque \(f_1^{-1}\) définie sur \([0,+\infty[\). Justifier sans calculer l’expression de \(f_1^{-1}\).(0,5 pt)

11. Calculer \((f_1^{-1})'(e-1)\). (On admettra que \(f_1^{-1}(e-1)=e\).)(1 pt)