Examen blanc N°10

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par :
\[u_0 = 4 \qquad \text{et} \qquad \forall\,n\in\mathbb{N}:\; u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n + 2\]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 pt)

2. Montrer par récurrence que \(\forall\,n\in\mathbb{N}:\; 4 \leq u_n \leq 8\). (0,5 pt)

3. Étudier la monotonie de \((u_n)\). En déduire que \((u_n)\) est convergente. (0,5 pt)

4. On pose \(v_n = u_n - 8\).

a) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{3}{4}\). Calculer \(v_0\). (0,5 pt)

b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). (0,5 pt)

c) Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n\). (0,5 pt)

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\bigl(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\bigr)\).
On considère les plans \((P):\; x+2y-2z+3=0\) et \((Q):\; 2x+y+2z-1=0\), et le point \(A(1,\,1,\,1)\).

1. Montrer que \((P)\) et \((Q)\) sont sécants. Donner une représentation paramétrique de leur droite d’intersection \((\Delta)\). (0,75 pt)

2. Calculer les distances \(d(A,\,(P))\) et \(d(A,\,(Q))\). Que remarque-t-on ? (0,5 pt)

3. Déterminer le pied \(H\) de la perpendiculaire de \(A\) sur \((P)\). (0,75 pt)

4. Soit \((S_1)\) la sphère de centre \(A\) et tangente à \((P)\). Donner l’équation de \((S_1)\). (0,5 pt)

5. Montrer que \((S_1)\) est également tangente au plan \((Q)\). En déduire la position du point \(A\) par rapport aux plans \((P)\) et \((Q)\). (0,5 pt)

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O;\vec{u},\vec{v})\) :

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E):\;z^2-2z+2=0\), puis écrire ses solutions sous forme exponentielle.(0,75 pt)

On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives \(z_A=1+i\) et \(z_B=1-i\).

2.
a) Calculer \(OA\), \(OB\) et \(AB\). (0,5 pt)

b) En déduire la nature du triangle \(OAB\). (0,25 pt)

3. On considère la transformation \(f\) définie par
\(z'=(1+i)z+1\).
a) Montrer que \(f\) est une similitude directe dont on précisera le rapport et l’angle. (0,5 pt)

b) Déterminer l’affixe de son centre \(\Omega\). (0,5 pt)

c) Déterminer l’affixe et les coordonnées de l’image du point \(C\) d’affixe \(z_C=1\). (0,5 pt)

Un comité de \(5\) personnes doit être formé à partir d’un groupe de \(4\) femmes et \(6\) hommes.

1. Combien de comités de \(5\) personnes peut-on former ? (0,5 pt)

2. Combien de comités contiennent exactement \(2\) femmes ? (0,5 pt)

3. Calculer la probabilité qu’un comité choisi au hasard contienne exactement \(2\) femmes. (0,5 pt)

4. Calculer la probabilité qu’un comité contienne au moins une femme. (0,75 pt)

5. Parmi les comités contenant exactement \(2\) femmes, quelle est la probabilité que la femme la plus âgée en fasse partie ? (0,75 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x-2)^2 e^{-x}\).
On note \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \((O;\vec{i},\vec{j})\) (unité graphique : \(1\,\text{cm}\)).

Partie I — Étude de \(f\)(4 pts)

1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\). En déduire une asymptote à \((C_f)\). (0,75 pt)

2. Montrer que \(f'(x)=(x-2)(4-x)e^{-x}\). Étudier le signe de \(f'\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (0,75 pt)

3. Montrer que \(f(x)\geq 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), et que \(f\) s’annule en un unique point que l’on déterminera. (0,5 pt)

4. Montrer que \(f''(x)=(x^2-8x+14)e^{-x}\). En déduire les abscisses \(x_1\) et \(x_2\) des points d’inflexion de \((C_f)\) (\(x_1 < x_2\)). (0,75 pt)

5. Écrire l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(4\) et montrer qu’elle est horizontale. Montrer que \((C_f)\) est tangente à l’axe des abscisses au point \((2,0)\). (0,5 pt)

6. Construire \((C_f)\) et \((T)\) dans le repère. (0,75 pt)

Partie II — Calcul intégral(2,5 pts)

7. Vérifier que \(H(x)=-(x^2-2x+2)e^{-x}\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (0,75 pt)

8. Calculer l’aire \(\mathcal{A}\) (en cm²) du domaine délimité par \((C_f)\), l’axe des abscisses, et les droites \(x=0\) et \(x=2\). (0,75 pt)

9. Calculer \(\displaystyle\int_2^4 f(x)\,dx\) et interpréter géométriquement. (1 pt)

Partie III — Équation différentielle(1,5 pt)

On considère l’équation différentielle \((E):\; y'+y=3\).

10. Résoudre \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). (0,75 pt)

11. Déterminer la solution de \((E)\) vérifiant \(y(0)=6\). (0,75 pt)