Examen blanc d’entraînement N°11

Barème détaillé : 1) 1 pt ; 2) 1 pt ; 3) 1 pt.

On pose \(g(x)=\ln\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right)\) sur \(]0,+\infty[\).
On considère la suite \((u_n)_{n\geq0}\) définie par
\[u_0=1\qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2u_n+1}\quad(n\in\mathbb N),\]
puis on pose \(v_n=g(u_n)\).

1. Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(2\).

2. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), puis calculer sa limite.

3. En déduire que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

Barème détaillé : 1.a–c) 0,25 pt chacune ; 2) 0,5 pt ; 3.a–c) 0,25 pt chacune ; 4.a–b) 0,5 pt chacune.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
On considère les points \(A(2,2,1), B(0,-2,4)\) et \(C(2,0,-4)\)

1. 1. Déterminer les composantes du vecteur \(\overrightarrow{O B} \times \overrightarrow{B C}\).

   2. En remarquant que \(\overrightarrow{O B} \times \overrightarrow{B C}=4 \overrightarrow{O A}\), justifier que la droite \((O A)\) est perpendiculaire au plan \((O B C)\) en \(O\).

   3. Montrer que la distance du point \(O\) à la droite \((B C)\) est égale à \(\sqrt{2}\).

2. Soit \((S)\) l’ensemble des points \(M(x, y, z)\) de l’espace tels que : \(x^2+y^2+z^2-4 x-4 y-2 z-2=0\)
   Montrer que \((S)\) est la sphère de centre \(A\) et de rayon \(\sqrt{11}\).

3. 1. Calculer la distance \(O A\).

   2. En déduire que le plan \((O B C)\) coupe la sphère \((S)\) suivant un cercle \((C)\) de centre \(O\). et de rayon \(\sqrt{2}\).

   3. Montrer que la droite \((B C)\) est tangente au cercle \((C)\).

4. On considère le point \(H(1,-1,0)\)

   1. Montrer que \(H\) est le point de contact de la droite \((B C)\) et du cercle \((C)\).

   2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((Q)\) tangent à \((S)\) en \(H\).

Barème détaillé : 1), 2.a–c) et 3.a–b) : 0,5 pt chacune.

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2-2 z+4=0\).

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \(\left(O ; \vec{e}_1 ; \overrightarrow{e_2}\right)\), on considère les points \(A, B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=2 ; b=1+i \sqrt{3}\) et \(c=1-i \sqrt{3}\).

   1. Donner la forme trigonométrique des nombres \(b\) et \(c\).

   2. Montrer que les points \(A, B\) et \(C\) appartiennent au cercle de centre \(O\) et de rayon 2 .

   3. Montrer que le quadrilatère \(O C A B\) est un losange .

3. 1. Déterminer l’écriture complexe de la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\).

   2. Soit \(D\) le point d’affixe \(d=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}+i \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\).
      Vérifier que le point \(D\) est l’image du point \(B\) par la rotation \(R\) et déduire un argument de \(d\).

Barème détaillé : 1.A) 0,5 pt ; 1.B) 0,75 pt ; 2) 1,75 pt.

Une urne contient \(6\) boules blanches portent les numéros \(0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 1\) et \(2\) et deux boules noires portent les numéros \(0\) et \(1\) ( indiscernables au toucher ).
On tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne.

1. Calculer la probabilité des événements suivants :

   • \(A\) : « les deux boules tirées sont de même couleur « 

   • \(B\) : « le produit des nombres tirés marqués sur les boules est nul « 

2. On considère \(X\) la variable aléatoire qui associe chaque tirage par la somme des nombres marqués sur les deux boules tirées .
   Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\).

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2) 0,5 ; 3) 0,5 ; 4) 0,75 ; 5) 0,5 ; 6) 0,75 ; 7.a–c) 0,5 chacune ; 8.a–b) 0,75 chacune ; 9.a) 1 ; 9.b) 0,5 pt.

\(\blacksquare\) Partie 1 : On considère la fonction \(f\) définie par : \({f}({x})=\ln \left(\frac{x}{x+1}\right)\)
On désigne par \(\left(C_f\right)\) la courbe de \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)

1. Vérifier que l’ensemble de définition de \(f\) est : \(D=]-\infty,-1[\cup] 0,+\infty[\).

2. Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) puis interpréter graphiquement les résultats obtenus .

3. Calculer \(\lim _{x \rightarrow(-1)^{-}} f(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\) puis interpréter graphiquement les résultats obtenus .

4. Montrer que : \((\forall x \in D) \quad f^{\prime}(x)=\frac{1}{x(x+1)}\) puis déduire le tableau de variations de \(f\).

5. Montrer que le point \(\Omega\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\) est un centre de symétrie de \(\left(C_f\right)\).

6. Construire la courbe \(\left(C_f\right)\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

7. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur l’intervalle \(I=] 0,+\infty[\).

   1. Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l’on déterminera

   2. Montrer que : \((\forall x \in J) \quad g^{-1}(x)=\frac{e^x}{1-e^x}\)

   3. Construire \((\Gamma)\) la courbe de \(g^{-1}\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).

8. 1. Montrer que la fonction \(F: x \rightarrow x \ln x-(x+1) \ln (x+1)\) est une primitive de la fonction \(f\) sur \(I\)

   2. Montrer que l’aire limitée par la courbe \(\left(C_f\right)\) et l’axe des abscisses et les droites définies par \(x=1\) et \(x=2\) est : \(S=\ln \left(\frac{27}{16}\right)\) en unité d’aire .

9. 1. En utilisant une intégration par parties, montrer que :
      \[\int_{-\ln 3}^{-\ln 2} \frac{e^{2x}}{\left(e^x-1\right)^2}\,dx =\frac{1}{2}+\ln \frac{3}{4}.\]

   2. Déduire le volume du solide de révolution engendré par la rotation de \(\left(C_{g^{-1}}\right)\) autour de l’axe des abscisses sur l’intervalle \([-\ln 3,-\ln 2]\).