Examen blanc d’entraînement N°12

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2) 0,5 ; 3.a) 0,5 ; 3.b) 0,75 ; 4) 0,75 pt.

On considère la suite \(\left({u}_n\right)\) définie par: \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\frac{3}{4} u_n+\frac{7}{4} ; n \in \mathbb{N}\)

1. Montrer par récurrence que : \((\forall n \in \mathbb{N}) \quad 0 \leq u_n \leq 7\)

2. Montrer que la suite \(\left({u}_n\right)\) est croissante et qu’elle est convergente.

3. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) définie par: \(v_n=u_n-7\) où \(n \in \mathbb{N}\)

   1. Montrer que \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(\frac{3}{4}\).

   2. Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}) \quad u_n=7-5\left(\frac{3}{4}\right)^n\) et calculer \(\lim \left(u_n\right)\)

4. Déterminer la plus petite valeur de l’entier \(n\) pour laquelle: \(\left|u_n-7\right| \leq 5.10^{-9}\)

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2.a–c) 0,5 chacune ; 3.a) 0,25 ; 3.b) 0,5 ; 3.c) 0,25 pt.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1 ; 2 ; - 2)\); \(B(0 ; 3 ;-3) ; C(1 ; 1 ;-2)\) et la sphère \((S)\) d’équation \(x^2+y^2+z^2-2 y+2 z=0\).

1. Montrer \(\Omega(0 ; 1 ;-1)\) est le centre de la sphère et \(R=\sqrt{2}\) son rayon.

2. 1. Montrer que \(\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=-\vec{i}+\vec{k}\) et déduire que les points \(A\); \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

   2. Déduire la hauteur \(h\) du triangle \(A B C\) issue du sommet \(C\)

   3. Montrer que \(x-z-3=0\) est une équation du plan \((A B C)\)

3. 1. Montrer que la sphère \((S)\) est tangente au plan \((A B C)\)

   2. Calculer la distance \(\Omega C\) et déterminer le point de contact de \((S)\) et le plan \((A B C)\).

   3. En déduire, sans calcul analytique, que : \(\Omega A^2+B C^2=A C^2+\Omega B^2\)

Barème détaillé : 1), 2.a–c) et 3.a–b) : 0,5 pt chacune.

1. Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des complexes l’équation \(z^2-4 \sqrt{2} z+16=0\)

2. On considère dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\), les points \({A}\),B et \({C}\) d’affixes respectives: \(\quad a=2 \sqrt{2}+2 i \sqrt{2}, b=\sqrt{2}-\sqrt{6}+i(\sqrt{2}+\sqrt{6})\) et \(\quad c=4 e^{i \frac{\pi}{12}}\).

   1. Écrire \(a\) sous forme trigonométrique et déduire que \(a^{22}=-2^{44} i\)

   2. Montrer que \(a=\left(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\right) b\)

   3. Écrire \(\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}\) sous forme trigonométrique puis déduire que : \(b=4\left(\cos \frac{7 \pi}{12}+i \sin \frac{7 \pi}{12}\right)\).

3. 1. Montrer que le point \(C\) est l’image du point \(B\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(-\frac{\pi}{2}\).

   2. En déduire la nature du triangle \(O B C\).

Barème détaillé : 1.a.A) 0,5 ; 1.a.B) 0,5 ; 1.b) 0,75 ; 2) 1,25 pt.

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, 5 boules blanches numérotées 1, 1, 2, 2, 2. et 5 boules noires numérotées 1, 1, 1, 1, 2 .

1. On tire aléatoirement et simultanément 3 boules de l’urne.

   1. Calculer la probabilité des événements suivants :

      • \(A\) : « les 3 boules tirées ont la même couleur »,

      • \(B\) : « la somme des nombres portés par les 3 boules tirées est égale à 4 « ,

   2. Montrer que \(p(A \cap B)=\frac{3}{40}\). Est-ce que les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants ?

2. On répète l’expérience précédente 4 fois de suite en remettant les 3 boules tirées à l’urne après chaque tirage.
   Quelle est la probabilité d’obtenir 3 boules de même couleur exactement une seule fois.

Barème détaillé : I.1) 0,5 ; I.2) 0,5 ; I.3.a–c) 0,5 chacune ; I.4) 0,5 ; I.5.a–c) 0,5 chacune ; I.6) 0,5 ; I.7) 0,5 ; I.8) 0,5 ; II.1.a–b) 0,5 chacune ; II.2) 0,5 ; II.3) 0,5 pt.

\(\blacksquare\) Partie 1 : On considère la fonction \({f}\) définie sur \([0 ;+\infty[\) par :
\[\left\{\begin{array}{l} {f}({x})={x}^2-2 {x}-{x}(\ln {x})^2 ; {x}>0 \\ {f}(0)=0 \end{array}\right.\]
et soit \(({C})\) sa représentation graphique dans un repère orthonormé.(l’unité \(=1 {~cm}\) )

1. Vérifier que : \(x(\ln x)^2=4(\sqrt{x} \ln \sqrt{x})^2\) pour tout \(x>0\) et montrer que \(f\) est continue en \(0\) à droite.

2. Montrer que \({f}\) n’est pas dérivable en \(0\) à droite et donner une interprétation graphique au résultat.

3. 1. Vérifier que : \((\forall {x} \in] 0 ;+\infty[) {f}({x})={x}^2\left[1-\frac{2}{{x}}-4\left(\frac{\ln \sqrt{{x}}}{\sqrt{{x}}}\right)^2\right]\)

   2. Déduire que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty\) et calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}\)

   3. Déterminer la nature de la branche infinie au voisinage de \(+\infty\)

4. Montrer que \((\forall {x} \in] 0 ;+\infty[) {f}^{\prime}({x})=2\left[{x}-1-\frac{1}{2}(\ln {x})^2-\ln {x}\right]\)

5. On considère la fonction \(g\) définie sur \(] 0 ;+\infty[\) par : \(g(x)=x-1-\frac{1}{2}(\ln x)^2-\ln x\)
   Le tableau suivant représente le tableau de variations de \(g\)

   On admet le tableau de variations de \(g\) correspondant aux expressions indiquées ci-dessous.

   1. Calculer \({g}(1)\) et montrer que \((\forall {x} \in] 0 ; 1]): {g}({x}) \leq 0\) et que \((\forall {x} \in[1 ;+\infty[): {g}({x}) \geq 0\)

   2. Montrer que f est strictement croissante sur \([1 ;+\infty[\) et strictement décroissante sur \(] 0 ; 1]\)

   3. Dresser le tableau de variation de \({f}\)

6. Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha\) dans \(] 3 ; 4[\) tel que \({f}(\alpha)=0\)

7. Tracer la courbe \((C)\)

8. Montrer que : \((\forall {t} \in \mathbb{R}) \quad\left({e}^{{t}}-1\right)^2 \geq {t}^2 {e}^{{t}} \quad\) (Remarquer que \({f}\) admet un extrémum)

\(\blacksquare\) Partie 2

1. 1. Vérifier que la fonction \(H: x \mapsto \frac{1}{2} x^2 \ln x-\frac{1}{4} x^2\) est une primitive de la fonction \(h: x \mapsto x \ln x\) sur \(] 0 ;+\infty[\)

   2. On pose : \(K=\int_1^2 x \ln x d x\). Montrer que : \(K=2 \ln 2-\frac{3}{4}\)

2. En utilisant une intégration par parties, Montrer que : \(\int_1^2 {x}(\ln {x})^2 {dx}=2(\ln 2)^2-{K}\).

3. Calculer \(\left(\right.\) en \(\left._{{cm}^2}\right)\) l’aire du domaine du plan délimité par la courbe \((C)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations: \({x}=1\) et \({x}=2\).