Examen blanc d’entraînement N°13

Barème détaillé : 1), 2) et 3) : 1 pt chacune.

On considère la suite \(\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : \(u_{n+1}=\frac{u_n-5}{2 u_n-6} \forall n \in \mathbb{N}\) et \(u_0=0\)

1. Montrer par récurrence que : \(u_n<1(\forall n \in \mathbb{N})\).

2. Étudier la monotonie de la suite \(\left(u_n\right)\), en déduire que \(\left(u_n\right)\) est convergente.

3. Montrer par récurrence que \((\forall n \in \mathbb{N}) u_n=\frac{5\cdot4^n-5}{5\cdot4^n-2}\). Calculer \(\lim _{n \rightarrow+\infty} u_n\).

Barème détaillé : 1), 2.a–b), 3.a–b) et 4) : 0,5 pt chacune.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\). On considère les points \(A(1,7,-2)\) et \(B(1,3,-4)\), le vecteur \(\vec{u}(1,2,2)\) et la droite \((\mathcal{D})\) passant par \(B\) et dirigée par \(\vec{u}\)

1. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{A B} \times \vec{u}\). Calculer \(d(A,(\mathcal{D}))\).

2. 1. Soient \(\Omega(6,7,-6)\) et le plan \((\mathcal{P})\) d’équation \(2 x+y-2 z-13=0\). Montrer \(d(\Omega,(\mathcal{P}))=6\).

   2. Écrire l’équation cartésienne de la sphère \((\mathcal{S})\) de centre \(\Omega\) et qui est tangente au plan \((\mathcal{P})\).

3. 1. Écrire une équation cartésienne du plan \((\mathcal{Q})\) passant par \(\Omega\) et de vecteur normal \(\vec{u}\).

   2. Déterminer l’intersection du plan \((\mathcal{Q})\) et de la sphère \((\mathcal{S})\).

4. Étudier l’intersection de la droite \((\mathcal{D})\) et de la sphère \((\mathcal{S})\).

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2) 0,75 ; 3.a) 0,5 ; 3.b) 0,75 ; 4) 0,5 pt.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct \((O, \vec{i}, \vec{j})\). On considère les points
\(A, B\) et \(C\) d’affixes respectives \(a=2+3 i\), \(b=\bar{a}\) et \(c=2-3 \sqrt{3}\).

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation : \(z^2-4 z+13=0\).

2. Montrer que : \(\left(\frac{a-c}{6}\right)^3=i\) et \(\left(\frac{a-c}{6}\right)^{12}=1\).

3. 1. Déterminer la forme algébrique et trigonométrique du complexe \(\frac{a-c}{b-c}\).

   2. En déduire une mesure de l’angle de la rotation \({R}\) de centre \({C}\) et qui transforme \({A}\) en \({B}\).

4. Écrire l’expression complexe de l’homothétie \({H}\) de centre \(\Omega(2+4 i)\) et de rapport \(7\) .

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2) 0,5 ; 3) 0,5 ; 4) 1 ; 5) 0,5 pt.

Une urne contient quatre boules rouges numérotées \(1,1,2,2\) et trois boules bleues numérotées \(1,2,3\). On tire simultanément deux boules.

1. Calculer le nombre total de tirages possibles.

2. Calculer la probabilité de tirer deux boules de même couleur.

3. Calculer la probabilité que la somme des numéros soit égale à \(3\).

4. Soit \(X\) le nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi de \(X\).

5. Calculer \(E(X)\).

Barème détaillé : I.1) 0,5 ; I.2.a–b) 0,5 chacune ; I.3) 0,5 ; II.1) 0,5 ; II.2) 0,5 ; II.3) 0,75 ; II.4) 0,75 ; II.5) 1 ; II.6.a) 1 ; II.6.b) 1,5 pt.

\(\blacksquare\) Partie 1 :
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(: g(x)=\ln \left(4+x^2\right)-\frac{x}{2}\).

1. Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} g(x)\).

2. 1. Montrer que : \(g(x)=2 \ln (|x|)-\frac{x}{2}+\ln \left(1+\frac{4}{x^2}\right)\left(\forall x \in \mathbb{R}^*\right)\).

   2. Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)\) et \(\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{g(x)}{x}\).

3. Montrer que : \(g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)^2}{2 x^2+8}(\forall x \in \mathbb{R})\).

\(\blacksquare\) Partie 2 : On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(: f(x)=\frac{4+x^2}{\sqrt{e^x}}\).
Soit \((\mathcal{C})\) la courbe de \(f\) dans un repère orthonormal \((O, \vec{i}, \vec{j})\) avec \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=1 \mathrm{~cm}\).

1. Vérifier que : \({f}({x})=e^{g(x)}(\forall x \in \mathbb{R})\).

2. Montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0\). Donner une interprétation géométrique de ce résultat.

3. Calculer \(\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)\) et montrer que la courbe \((\mathcal{C})\) admet une branche parabolique de direction \((O y)\) au voisinage de \(-\infty\).

4. Montrer que le signe de \(f^{\prime}(x)\) est le même que celui de \(g^{\prime}(x)\) sur \(\mathbb{R}\). Donner le tableau de variation de \(f\).

5. Calculer \(f(0)\) Construire la courbe \((\mathcal{C})\) O On prend \(f(2) \approx 3, f(6) \approx 2\) et on admet que \((\mathcal{C})\) admet que les points \({E}\) et \({F}\) de \((\mathcal{C})\), d’abscisses respectives \(\mathbf{2}\) et \(\mathbf{6}\) sont des points d’inflexion \(\operatorname{de}(\mathcal{C})\).

6. 1. Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x)=\left(-2 x^2-8 x-24\right) e^{-\frac{x}{2}}\). Montrer que \(h\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

   2. En déduire l’aire du domaine plan délimité par la courbe \((\mathcal{C})\), l’axe \({O} {x}\) et les droites \({x}=\mathbf{0}\) et \(x=2\).