Examen blanc d’entraînement N°14

Barème détaillé : 1) 0,5 ; 2.a) 0,5 ; 2.b) 0,5 ; 2.c) 0,75 ; 2.d) 0,75 pt.

On considère la suite numérique \(\left(u_n\right)\) définie par : \(u_0=-2\) et \(u_{n+1}=\frac{22 u_n-1}{22-u_n}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

1. Montrer par récurrence que \(u_n<-1\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

2. Soit \(\left(v_n\right)\) la suite numérique telle que : \(v_n=\frac{u_n+1}{u_n-1}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

   1. Montrer que \(\left(v_n\right)\) est une suite géométrique de raison \(q=\frac{21}{23}\)

   2. Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\)

   3. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\)

   4. Déduire la limite de la suite \(\left(w_n\right)\) définie par : \(w_n=e^{\frac{1}{u_n+1}}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

Barème détaillé : 1) 1 ; 2.a) 1 ; 2.b) 1 pt.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).On considère les points \(A(3,-2,2), B(6,-2,-1)\) et \(C(6,1,5)\)

1. Montrer que \(\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=9(\vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k})\) puis vérifier que \(x-2 y+z-9=0\) est une équation cartésienne du plan \((A B C)\)

2. Soit \((S)\) la sphère d’équation cartésienne \(x^2+y^2+z^2-12 x+y-4 z+29=0\)

   1. Montrer que le point \(\Omega\left(6,-\frac{1}{2}, 2\right)\) est le centre de la sphère et son rayon \(R=\frac{3 \sqrt{5}}{2}\)

   2. Calculer \(d(\Omega,(A B C))\) puis déduire que \((A B C)\) coupe la sphère \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\)
      dont on déterminera son centre et son rayon

Barème détaillé : 1.a) 0,5 ; 1.b) 0,5 ; 2) 0,5 ; 3.a) 0,75 ; 3.b) 0,75 pt.

1. 1. Résoudre dans l’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes l’équation \(z^2+z+1=0\).

   2. On pose \(a=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\).
      Écrire \(a\) sous forme trigonométrique et en déduire que \(a^{2022}\) est un nombre réel

2. Soit le nombre complexe \(U=1+\cos \left(\frac{2 \pi}{9}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{9}\right)\), prouver que \((U-1)^3=a\)

3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct les points \(A, B\) et \(C\) d’affixe respectives \(a, b\) et \(c\) tel que \(b=U-1\) et \(c=1\).soit la rotation \(R\) de centre \(O\) d’angle \(\frac{4 \pi}{9}\) transforme le point \(M\) d’affixe \(z\) au point \(M^{\prime}\) d’affixe \(z^{\prime}\)

   1. Vérifier que \(z^{\prime}=b^2 z\) puis vérifier que l’affixe de \(D\) image de \(C\) par la rotation \(R\) est \(b^2\)

   2. Montrer que \(O D \times O B=O A\) puis déduire la nature du triangle \(O D A\)

Barème détaillé : 1) \(P(A)\) : 1 pt ; \(P(B)\) : 1 pt ; \(P(C)\) : 1 pt.

Une urne contient dix boules : trois boules vertes, six boules rouges et une boule noire indiscernables au toucher. On tire au hasard et successivement et sans remise trois boules de l’urne. On considère les événements suivants :

• A : « Obtenir la boule noire. »

• B : « Obtenir trois boules de même couleur. »

• C : « Obtenir au moins une boule verte. »

1. Montrer que \(P(A)=\frac{3}{10}\) et \(P(B)=\frac{7}{40}\), puis calculer \(P(C)\).

Barème détaillé : I.1) 0,5 ; I.2) 0,5 ; II.1) 0,5 ; II.2.a–b) 0,5 chacune ; II.3.a–d) 0,5 chacune ; II.4.a–b) 0,5 chacune ; II.5) 1 ; II.6.a–c) 0,5 chacune pt.

I. Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(] 0,+\infty[\) par : \(g(x)=\ln x+x-1\)

1. Montrer que \(g\) est strictement croissante sur \(] 0,+\infty[\)

2. Calculer \(g(1)\) puis Déterminer le signe de \(g(x)\) sur \(] 0,+\infty[\)

II. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(] 0,+\infty\left[\right.\) par : \(f(x)=x e^{1-x}+\left(\frac{1-x}{x}\right) \ln x\) et \(\left(C_f\right)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (on prend \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2 \mathrm{~cm}\) )

1. Calculer \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\) puis interpréter le résultat géométriquement

2. 1. Vérifier que pour tout \(x\) de \(] 0,+\infty[: f(x)=\frac{x e}{e^x}+\left(\frac{1}{x}-1\right) \ln x\) puis déduire \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\)

   2. Étudier la branche infinie de \(\left(C_f\right)\) au voisinage de \(+\infty\)

3. 1. Montrer que pour tout \(x\) de \(] 0,+\infty[: f^{\prime}(x)=e^{1-x}(1-x)-\frac{g(x)}{x^2}\)

   2. Calculer \(f^{\prime}(1)\) puis interpréter le résultat géométriquement

   3. Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(] 0,1]\) et décroissante sur \([1,+\infty[\)

   4. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(] 0,+\infty[\)

4. 1. Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(]1,+\infty[\) et que \(\alpha \in]2,3[\).

   2. Montrer que : \(\quad e^{1-\alpha}=\left(\frac{\alpha-1}{\alpha^2}\right) \ln \alpha\)

5. Construire dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) la courbe \(\left(C_f\right)\) (on admet que l’autre solution de \(f(x)=0\), située dans \(]0,1[\), vaut approximativement \(0,48\)).

6. 1. a) Montrer que \(H: x \rightarrow \frac{1}{2}(\ln x)^2-x \ln x+x\) est une primitive de \(h: x \rightarrow\left(\frac{1-x}{x}\right) \ln x\) sur \(] 0,+\infty[\)

   2. A l’aide d’une intégration par parties montrer que \(\int_1^2 x e^{1-x} d x=2-\frac{3}{e}\).

   3. Calculer en \(\mathrm{cm}^2\) l’aire du domaine plan limité par \((C)\) et l’axe des abscisses et les droites d’équation \(x=1\) et \(x=2\)