Examen blanc d’entraînement N°15

Barème détaillé : 1), 2) et 3) : 1 pt chacune.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\), où
\[f(x)=x+\ln x-\frac{4\ln x}{x+1}\quad(x>0).\]
On admet que \(f([1,3])\subset[1,3]\) et que \(f(x)\le x\) sur \([1,3]\).

1. Montrer par récurrence que \(1\le u_n\le3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis qu’elle converge.

3. Déterminer sa limite.

Barème détaillé : 1.a–b), 2.a–b) et 3.a–b) : 0,5 pt chacune.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), on considère les points \(A(1 ; 2 ; 3)\) et \(B(4 ; 0 ; 2)\) et \(C(0 ; 1 ; 5)\).Soit \((S)\) la sphère de centre \(\Omega(3 ; 3 ; 3)\) et de rayon \(R=\sqrt{3}\)

1. 1. Calculer \(\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}\)

   2. En déduire que \(x+y+z-6=0\) est une équation cartésienne du plan \((A B C)\)

2. 1. Montrer que le plan \((A B C)\) est tangent à la sphère \((S)\)

   2. Déterminer les coordonnées du point \(H\) le point de contact du plan \((A B C)\) et la sphère \((S)\)

3. Soit \(M(\alpha ; \beta ; \gamma)\) un point du plan \((A B C)\)

   1. Montrer que \(\Omega M \geq R\)

   2. En déduire que \(\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2} \geq 2 \sqrt{3}\)

Barème détaillé : 1) 0,25 ; 2) 0,5 ; 3.a) 0,5 ; 3.b) 0,25 ; 4.a–c) 0,5 chacune pt.

Dans le plan complexe rapporté d’un repère orthonormé \((O, \vec{u}, \vec{v})\).
On considère les points \(A ; B\) et \(C\) d’affixes : \(a=\frac{1+i \sqrt{3}}{2} ; \quad b=2 i . a \quad ; c=1\)

1. Vérifier que \(1-a=\bar{a}\)

2. Écrire \(a\) sous forme trigonométrique, en déduire que \(b=2 e^{i \frac{5 \pi}{6}}\)

3. 1. Montrer que \(C\) est l’image du point \(A\) par la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\frac{-\pi}{3}\)

   2. En déduire la nature du triangle \(O A C\)

4. Soit \(z\) l’affixe d’un point \(M\) de la médiatrice du segment \([O A]\)

   1. Montrer que \(z \bar{a}+a \bar{z}=1\)

   2. En déduire que \(z=a \cdot(z-\bar{z})+1\)

   3. Montrer que \((MC) \\parallel (OB)\)

Barème détaillé : 1.A) 0,5 ; 1.B) 0,5 ; 2.a–d) 0,5 chacune pt.

Un sac contient sept jetons indiscernables au toucher dont deux numérotés \((a-1),(a-1)\) et quatre numérotés \(a\) et un jeton numéroté \((a+1)\) avec \(a \in \mathbb{N}\). On tire simultanément deux jetons du sac. On considère les deux évènements :

• \(A\) : »les deux jetons tirés portent le même nombre »

• \(B\) : »la somme des nombres marqués sur les deux jetons tirés est \(2 a "\)

1. Montrer que : \(p(A)=\frac{1}{3}\) et \(p(B)=\frac{8}{21}\)

2. Soit \(X\) la variable aléatoire qui associe à chaque tirage (de deux jetons simultanément) la somme des nombres marqués sur les deux jetons.

   1. Déterminer les valeurs prises par \(X\)

   2. Montrer que \(p(X=2 a+1)=\frac{4}{21}\)

   3. Déterminer la loi de probabilité de \(X\)

   4. Sachant que \(E(X)=\frac{12}{7}\), déterminer la valeur de \(a\)

Barème détaillé : 1) 0,25 ; 2.a–b) 0,5 chacune ; 3.a–d) 0,5 chacune ; 4.a–b) 0,5 chacune ; 5) 0,25 ; 6.a–d) 0,5 chacune ; intégrales 1), 2), 3) : 0,5 chacune pt.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(] 0 ;+\infty\left[\right.\) par: \(f(x)=x+\ln x-\frac{4 \ln x}{x+1}\) et soit \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j}) \cdot(\|\vec{i}\|=1 \mathrm{~cm})\)

1. Calculer \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\) et interpréter géométriquement le résultat

2. 1. Calculer \(\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)\) puis montrer que \(\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=1\)

   2. Montrer que \((C)\) admet une branche parabolique de direction la droite \((\Delta)\) : \(y=x\) au voisinage \(+\infty\)

3. 1. Montrer que \(f^{\prime}(x)=\frac{x^2+2 x-3}{x(x+1)}+\frac{4 \ln x}{(x+1)^2}\) pour tout \(x\) de \(] 0 ;+\infty[\)

   2. Montrer que \(\left(x^2+2 x-3\right)\) et \(\ln (x)\) ont le même signe sur \(] 0\); \(+\infty[\)

   3. En déduire que \(f\) est décroissante sur \(] 0 ; 1]\) et croissante sur \([1 ;+\infty[\)

   4. Dresser le tableau de variations de \(f\)

4. 1. Vérifier que \(f(x)-x=\left(\frac{x-3}{x+1}\right) \ln x\) pour tout \(x\) de \(] 0 ;+\infty[\)

   2. En déduire la position relative de la courbe \((C)\) et la droite \((\Delta)\)

5. Construire la courbe \((C)\) et la droite \((\Delta)\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) (On admet que la courbe \((C)\) a un seul point d’inflexion dont l’abscisse \(x \simeq 3\) )

6. Soit \(g\) la restriction de \(f \operatorname{sur}] 0 ; 1]\)

   1. Montrer que la fonction \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur \([1 ;+\infty[\)

   2. Dresser le tableau de variation de la fonction \(g^{-1}\)

   3. Construire \(\left(C_{g^{-1}}\right)\) la courbe représentative de la fonction \(g^{-1}\) dans le même repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\)

   4. Déterminer graphiquement : \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{g^{-1}(x)-1}{x-1}\)

On considère les deux intégrales : \(\quad I=\int_0^{\ln 6} \frac{e^x+1}{e^x+2} d x \quad\) et \(\quad J=\int_0^{\ln 6} \frac{1}{e^x+2} d x\)

1. Calculer \(I+J\) et \(I-J\)

2. En déduire que \(I=\ln 4\) et \(J=\ln \left(\frac{3}{2}\right)\)

3. En utilisant une intégration par parties calculer l’intégrale \(K=\int_0^{\ln 6} e^{-x} \ln \left(e^x+2\right) d x\)