Devoir surveillé n°2 — Semestre 1 (2021)

Les questions sont indépendantes.

1. Calculer les limites suivantes :
\[\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\sqrt[3]{x^{3}-2}-x\Bigr) \qquad;\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}} \qquad;\qquad \lim_{x\to 0^{+}}x\arctan\!\left(\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)\]
(1,5 pt)

2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\[(E_{1}):\arctan x+\arctan 2x=\frac{\pi}{4} \qquad;\qquad (E_{2}):2x\sqrt{x}-3x\sqrt[4]{\frac{1}{x}}=20\]
(2 pts)

3. Démontrer que \((\forall\,x\in\mathbb{R})\) :
\[\frac{1}{2}\arctan x+\arctan\!\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)=\frac{\pi}{4}\]
(1 pt)

4. Démontrer que \((\forall\,t\in\mathbb{R}^{+})\) :
\[0\leq t-\arctan t\leq\frac{1}{3}t^{3}\]
puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\left(1-x\arctan\frac{1}{x}\right)\).
(1,5 pt)

Soit \(n\in\mathbb{N}^{*}\) et \(f\) la fonction définie sur \([0\,;+\infty[\) par
\(f(x)=\dfrac{4}{\pi}\arctan(\sqrt[n]{x})-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x+1}}\).

1. Démontrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha_{n}\)
sur \([0\,;+\infty[\). (1,5 pt)

2. Démontrer que \(0<\alpha_{n}<1\). (0,25 pt)

3. Comparer \(f_{n}(x)\) et \(f_{n+1}(x)\) pour tout \(x\in\,]0\,;1[\).
(0,25 pt)

4. Montrer que \((\alpha_{n})\) est convergente. (0,5 pt)

5. Montrer que
\(\alpha_{n}=\left(\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4\sqrt[3]{\alpha_{n}+1}}\right)\right)^{n}\)
et déduire \(\lim\alpha_{n}\). (1 pt)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)= \begin{cases} x-\sqrt[3]{x-1}, & x\geq 1 \\[4pt] \dfrac{\arctan\!\left(\sqrt{1-x}\right)}{\sqrt{1-x}}, & x<1 \end{cases}\]
et \((C_{f})\) sa représentation graphique dans un repère orthonormé
\(\bigl(O\,;\vec{\imath}\,;\vec{\jmath}\bigr)\).

1. Démontrer que \(f\) est continue en \(x_{0}=1\). (0,5 pt)

2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(1\)
et interpréter géométriquement le résultat. (1 pt)

3. Étudier les branches infinies à \((C_{f})\). (1,5 pt)

4. On pose pour tout \(t\in\mathbb{R}^{*}_{+}\) :
\(u(t)=t-\arctan(t)\) et \(v(t)=t^{3}\).

1. Vérifier que
   \(\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{u(t)}{v(t)}\).
   (0,5 pt)

2. On pose \(g(x)=u(t)v(x)-u(x)v(t)\). Montrer que \(\exists\,c\in\,]0\,;t[\) : \(g'(c)=0\).
   (1 pt)

3. En déduire que \(\displaystyle\lim_{t\to 0^{+}}\frac{u(t)}{v(t)}=\frac{1}{3}\)
   et que \(f\) est dérivable à gauche en \(1\), puis donner une interprétation du résultat obtenu.
   (1 pt)

5.

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(]1\,;+\infty[\). (1 pt)

2. Démontrer que pour tout \(x\in\,]-\infty\,;1[\) :
   \[f'(x)=\frac{1}{2(1-x)^{\frac{3}{2}}} \left(\arctan\!\left(\sqrt{1-x}\right)-\frac{\sqrt{1-x}}{2-x}\right).\]
   (1 pt)

3. Démontrer que \((\forall\,t\in\mathbb{R}^{+})\) :
   \(\arctan(t)-\dfrac{t}{1+t^{2}}\geq 0\). (0,5 pt)

4. En déduire que \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1[\). (0,5 pt)

6. Soit \(g\) la restriction de \(f\) sur \(]-\infty\,;1[\).
Démontrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur \(J\) à déterminer.
(0,5 pt)

7. Construire \((C_{f})\) et \(\bigl(C_{g^{-1}}\bigr)\) dans le même repère.
(2 pts)