Devoir surveillé n°3 — Semestre 2

I. Soit \(m\) un nombre complexe non nul et \(j = -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\frac{2\pi}{3}}\) et \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres complexes et \(n \in \mathbb{N}\).

1. Calculer \(j^{2}\) et \(j^{3}\) puis \(j^{n}\) selon les valeurs de \(n\). (1,5 pt)

2. Montrer que \(1 + j + j^{2} = 0\). (0,25 pt)

3. Calculer \(j + j^{2} + \dots + j^{2025}\). (0,5 pt)

4. Montrer que \(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a+b\bar{j}+cj)(a+bj+c\bar{j})\) puis résoudre l’équation \(z^{3}-3iz+1-i = 0\). (1,5 pt)

II. On considère dans \(\mathbb{C}\) l’équation d’inconnue \(z\) définie par \((E_{m}) : z^{2} + mj^{2}z + m^{2}j = 0\).

1. Montrer que le discriminant de l’équation \((E_{m})\) est \(\Delta = [m(1-j)]^{2}\). (0,5 pt)

2. Déterminer \(z_{1}\) et \(z_{2}\), les deux solutions de l’équation \((E_{m})\). (0,75 pt)

3. On suppose dans cette équation que \(m = 1+i\).

III. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})\). Soit \(\phi\) la transformation du plan complexe qui à tout point \(M(z)\) fait correspondre le point \(M'(z')\) tel que \(z' = (1+j)z\).

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de \(\phi\). (0,5 pt)

2. On considère les points suivants : \(A\) d’affixe \(m\) ; et \(B\) d’affixe \(mj\), et \(C\) d’affixe \(mj^{2}\) et on note \(A'(a')\), \(B'(b')\) et \(C'(c')\) les images respectives de \(A\), \(B\) et \(C\) par l’application \(\phi\) et soient \(P(p)\), \(Q(q)\) et \(R(r)\) les milieux respectifs de \([BA']\), \([CB']\) et \([AC']\).

1. Montrer que \(a' = -mj^{2}\) et \(b' = -m\) et \(c' = -mj\). (1 pt)

2. Montrer que \(p + qj + rj^{2} = 0\). (1 pt)

3. Déduire la nature du triangle \(PQR\). (0,5 pt)

1. On pose \(a = pn\) et \(b = p(n-1)\) et soit \(p\) et \(n\) tels que \(p \in \mathbb{N}^{*}\) et \(n \in \mathbb{N}^{*} - \{1\}\). Montrer que \(a \wedge b = a - b\). (0,75 pt)

2. Démontrer que si \(a\) et \(b\) sont deux entiers de \(\mathbb{N}^{*}\) vérifiant : \(a \wedge b = a - b\) alors il existe deux entiers naturels \(p\) et \(n\) tels que \(a = pn\) et \(b = p(n-1)\). (1,75 pt)

3. Application. Soit \(x\) et \(y\) deux entiers de \(\mathbb{N}^{*}\). On considère \(a = 40x(3y+2)\) et \(b = 15x(8y+5)\) et \(c = 24x(5y+3)\).

1. Déterminer \(a \wedge b\) et \(b \wedge c\). (1,5 pt)

2. Vérifier que \(a \wedge b \wedge c = x\). (1 pt)

1. On considère l’équation \((E) : 25x - 108y = 1\) avec \(x\) et \(y\) dans \(\mathbb{Z}\).

1. L’équation \((E)\) admet-elle des solutions dans \(\mathbb{Z}\) ? Justifier. (0,25 pt)

2. Vérifier que le couple \((13\,;\,3)\) est une solution de \((E)\). (0,25 pt)

3. Résoudre dans \(\mathbb{Z}^{2}\) l’équation \((E)\). (1 pt)

2. Soient \((x, a, c, g)\) des entiers naturels tels que \(25g - 108c = 1\).

1. Démontrer que si \(x \equiv a\,[19]\) et \(x \equiv a\,[7]\) alors \(x \equiv a\,[133]\). (0,5 pt)

2. 1. Vérifier que \(\forall x \in \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\ ;\ x^{6} \equiv 1\,[7]\). (0,5 pt)

   2. On suppose que \(a\) n’est pas un multiple de \(7\). Démontrer que \(a^{108} \equiv 1\,[7]\). (1 pt)

   3. En déduire que \((a^{25})^{g} \equiv a\,[7]\). (0,5 pt)

   4. On suppose que \(a\) est un multiple de \(7\). Démontrer que \((a^{25})^{g} \equiv a\,[133]\). (1 pt)

   5. On admet que pour tout entier naturel \(a\) : \((a^{25})^{g} \equiv a\,[19]\). Démontrer que \((a^{25})^{g} \equiv a\,[133]\). (1 pt)