Devoir surveillé n°3 — Semestre 2 (2022)

\((\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),+,\times)\) est un anneau unitaire d’unité \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \((\mathbb{R},+)\) est un groupe commutatif.
Pour tout réel \(x\) on pose \(M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & x \\ -2x & 1+2x \end{pmatrix}\).
On considère l’ensemble \(E = \{M(x)\,;\,x \in \mathbb{R}\}\).
On munit \(E\) d’une loi de composition interne \(T\) définie par \((\forall (x\,,\,y) \in \mathbb{R}^{2})\quad M(x)TM(y) = M(x+y+1)\).

1. Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbb{R}\) dans \(E\) définie par : \((\forall x \in \mathbb{R})\quad \varphi(x) = M(x-1)\).

1. Démontrer que \(\varphi\) est un morphisme de \((\mathbb{R},+)\) dans \((E,T)\).

2. Démontrer que \((E,T)\) est un groupe commutatif.

2.

1. Démontrer que \((\forall (x\,,\,y) \in \mathbb{R}^{2})\quad M(x) \times M(y) = M(x+y+xy)\).

2. Déduire que \(E\) est une partie stable de \((\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\times)\) et que la loi \(«\,\times\,»\) est commutative dans \(E\).

3. Démontrer que la loi \(«\,\times\,»\) est distributive par rapport à la loi \(«\,T\,»\) dans \(E\).

4. Vérifier que \(M(-1)\) est l’élément neutre dans \((E,T)\) et que \(I\) est l’élément neutre dans \((E,\times)\).

3.

1. Vérifier que \(\left(\forall x \in \mathbb{R} - \{-1\}\right)\quad M(x) \times M\left(\dfrac{-x}{x+1}\right) = I\).

2. Démontrer que \((E,T,\times)\) est un corps commutatif.

On considère dans \(\mathbb{R}^{2}\) la loi de composition interne \(*\) définie par : \((\forall (x\,,\,y) \in \mathbb{R}^{2})(\forall (a\,,\,b) \in \mathbb{R}^{2})\)
\[(a\,,\,b) * (x\,,\,y) = \left(\frac{ax+by}{2}\,,\,\frac{ay+bx}{2}\right).\]
Soit l’ensemble \(E = \left\{\left(m+\frac{1}{m}\,,\,m-\frac{1}{m}\right) \in \mathbb{R}^{2}\,;\,m \in \mathbb{R}^{*}\right\}\).

1. Démontrer que \(*\) est une loi de composition interne dans \(E\).

2. Soit \(\varphi\) l’application définie sur \(\mathbb{R}^{*}\) dans \(E\) par \((\forall m \in \mathbb{R}^{*})\ ;\ \varphi(m) = \left(m+\frac{1}{m}\,,\,m-\frac{1}{m}\right)\).

1. Démontrer que \(\varphi\) est un morphisme bijectif de \((\mathbb{R}^{*},\times)\) dans \((E,*)\).

2. Déduire que \((E,*)\) est un groupe commutatif et déterminer son élément neutre et le symétrique de tout élément \(\left(m+\frac{1}{m}\,,\,m-\frac{1}{m}\right)\) tel que \(m\) est un réel non nul.

3. On considère l’ensemble \(F = \{(x\,,\,y) \in \mathbb{R}^{2} : x \geq 2 \text{ et } y^{2} = x^{2}-4\}\).

1. Démontrer que \(F = \left\{\left(m+\frac{1}{m}\,,\,m-\frac{1}{m}\right) \in \mathbb{R}^{2}\,;\,m > 0\right\}\).

2. Démontrer que \((F,*)\) est un sous-groupe de \((E,*)\).

On considère les deux matrices \(N\) et \(D\) définies par :
\[N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ et } D = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \text{ et } a \in \mathbb{R}^{*}.\]

1.

1. Calculer \(N^{2}\) et \(N^{3}\).

2. Vérifier que \(ND = DN\).

2. Soit \(A = N + D\) et \(n\) un élément de \(\mathbb{N}^{*} \setminus \{1\}\). Calculer \(A^{n}\) en fonction de \(n\) et \(a\).